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05/21/2018

Historia de los polinomios y el surgimiento del número i

Historia de los polinomios y el surgimiento del número i

El problema de solucionar ecuaciones algebraicas ha sido trabajado desde los tiempos de las civilizaciones antigüas en Egipto y Babilonia, donde se planteaban solucionar ecuaciones lineales, cuadráticas y relaciones del estilo a2 + b2 = c2. Estos problemas eran planteados con palabras,complicando la búsqueda de una solución. Herón y Diofanto de Alejandría lo llamaron “la ciencia de la restauración y el balance”, dado que el problema consistía en ‘restaurar’ determinados valores tal que el resultado de ciertas operaciones entre estos estuviera ‘balanceado’ (fuera igual) con el de otras operaciones con los mismos valores. Alrededor del año 300 a.C. Euclides desarrolló un enfoque geométrico, reduciendo el problema a encontrar una distancia que satisficiese la ecuación, luego Brahmagupta desarrolla un método en donde se aceptan por primera vez las cantidades negativas y se asignan letras a las cantidades desconocidas. Cabe notar que ninguno de estos personajes pensaba en estos problemas como ecuaciones, debido a la falta de notación.

Figura 1 Omar KhayyamPara lépoca medieval los islámicos habían generalizado algunas ecuaciones en forma de binomios, se discutía la importancia  de la variable desconocida X y se utilizaban todos los cálculos aritméticos necesarios para solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas, pero las cúbicas siempre han presentado un nivel de dificultad mucho mayor. El persa Omar Khayyam desarrolló un método geométrico para hallar raíces de algunas ecuaciones cúbicas utilizando cónicas, pero no pudo hallar una forma general  de si quiera expresar un polinomio de grado 3; este trabajo sería realizado por Fibonacci en el siglo XIII, quien llegó a una aproximación (x+ 2x+ cx = d).Todo esto antes de que se utilizaran los signos “ = ” , “ + ” , “ − ”, que aparecerían a mediados  del siglo XVI.  

Pero a inicios del siglo XVI los italianos Tartaglia, Scipone del Ferro y Gerolamo Cardano desarrollarían un método general para hallar raíces de polinomios cúbicos. Entendían la importancia de este problema, pues era uno de gran antigüedad, lo que no sabían era que el camino para llegar a esta solución arrojaba pistas sobre un nuevo tipo de números: los complejos.

El trabajo sobre ecuaciones cúbicas fue motivado por un estudio del siglo XIV, donde se reducía el número de términos y al considerar solamente Figura 2 Gerolamo Cardanosoluciones positivas el problema se expandía a solucionar 3 casos particulares. Del Ferro fue el primero en resolver el caso [1] y quizá también los otros dos, y al morir reveló las fórmulas para los tres casos a su estudiante Antonio Maria Fiore, quien desafiaría a Tartaglia a un concurso de matemáticas. El día antes del concurso, Tartaglia fue capaz de desarrollar la solución general y ganó, luego se la reveló a Gerolamo quien juró mantenerla en secreto (aunque nunca le mostró la prueba). Se dice que Cardano le robó el crédito a su estudiante Ludovico Ferrari por el trabajo de reconstruir la prueba y la hizo pública en su libro Ars Magna en 1545.                                   

Figura 3 Rafael BombelliPero en el caso [2] se llegaba al conocido como casus irreducibilis, que era cuando se obtenía la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano menciona un problema cuya solución es imposible sin el uso de los complejos, y así es recordado como el primero en publicar sobre estos en la forma de a + √−b. A finales del siglo XVI, Rafael Bombelli escribe la serie de libros l’Algebra, donde discute el casus irreducibilis llamando “pi´u di meno” a √ −1. Hay que tener en cuenta que en la edad media todos  los conceptos matemáticos eran intuitivos, muchos no aceptaban siquiera los números negativos, el concepto de la raíz cuadrada  de un negativo era absurdo.

 “Al principio la cosa parece estar más basada en sofismo que en la verdad, pero yo busqué hasta que logré encontrar la prueba”
- Rafael Bombelli

En el siglo XVII, René Descartes publica ‘La Géométrie’, donde da a conocer la conexión entre geometría y álgebra el Figura 4 René Descartesintrodujo así la gráfica de una ecuación polinómica, la regla de los signos para hallar las raíces positiva y negativa de una ecuación y la notación de exponente para denotar multiplicaciones sucesivas; también relaciona a los números imaginarios con lo geométricamente imposible y populariza los nombres “números imaginarios”, también llamados “imposibles”.

“Para cualquier ecuación uno puede imaginarse un número de raíces igual (a su grado), pero en muchos casos no existe una cantidad correspondiente a lo que uno se imagina” - René Descartes

Mas adelante Wallis establece una interpretación geométrica para los números negativos introduciendo la recta numérica y da los primeros pasos hacia el desarrollo del plano complejo.Por otro lado, Abraham de Moivre se muda a Londres donde conoce a Newton y escribe que este

utilizaba una versión de la fórmula de Moivre en el casus irreducibilis. A pesar de su utilidad, casi ningún matemático se tomaba a estos números en serio, pero esta situación fue cambiando con la llegada de Leonhard Euler.

Figura 5 Leonhard Euler

                Supongamos que i  = √ −1, entonces

                                                           i 2 = −1

                                                      √ −1√ −1 = −1  

             y por propiedades de la radicación obtenemos

                                               √(−1)2 = −1  → 1 = −1

Lo cual es una contradicción y una de las razones por las que estos números eran vistos solamente como un truco para deducir ciertos resultados. Pero en el siglo XVIII, Euler introduce la notación i tal que i= −1, evitando este tipo de problemas; ´el fue el primero en utilizar la fórmula x + iy r[cos(θ) + isin(θ)], en visualizar las raíces de la unidad  como vértices de un polígono regular y demostró la fórmula de Euler.                                                                                       

En 1797 Caspar Wessel publica una representación de los complejos en forma vectorial, la cual no sería reconocida sino hasta 1897 por otro matemático de Dinamarca llamado Sophus Christian Juel. En 1831 William Rowan Hamilton da una definición algebraica de los complejos como parejas ordenadas de números reales con suma y multiplicación, así sementando las bases del análisis complejo. Hay evidencia indicando que Carl Friedrich Gauss había desarrollado esta interpretación alrededor de 1796 pero no la publicó sino hasta el añoo 1831. Gauss fue el primero en introducir el nombre de números ‘complejos’ y en 1811 le escribe una carta a Bessel en la que incluye el teorema
de Cauchy, que fue publicado por primera vez al ser redescubierto por Cauchy y Weierstrass.


Figura 6 Carl Friedrich Gauss
“Si este tema ha sido considerado desde un punto de vista equivocado y por lo tanto ha estado rodeado de misterio y      oscuridad, la culpa es en gran parte de una terminología inadecuada. Si +1, −1 y √ −1, en lugar de llamarse unidad    positiva, negativa e imaginaria (o peor aun, imposible), se hubieran llamado unidad directa, inversa y lateral,difícilmente hubiera habido el mismo espacio para tal oscuridad.”

-Carl Friedrich Gauss

En 1814 Augustin-Louis Cauchy inicia la teoría de funciones complejas, donde se encuentran conceptos de funciones    analíticas e integrales de contorno en una memoria publicada en 1825, y antes de esto Poisson había publicado un    trabajo en el cual se realizan integrales por caminos que no se encuentran sobre la recta real.

A pesar de la controversia que rodeó a estos números durante tantos años, los complejos han llegado a ser Figura 7 Augustin Louis Cauchyaceptados por la gran mayoría de la comunidad matemática, como también han mostrado ser de gran utilidad tanto en el ámbito teórico como en el práctico, por ejemplo para estudiar funciones vectoriales, resolver integrales definidas que no tienen primitiva y definir transformadas que sirven para resolver ecuaciones diferenciales con aplicaciones en física e ingeniería (por ejemplo en ondas). También es imposible estudiar a los polinomios a fondo sin encontrarse con los números complejos, siendo estos la base del teorema fundamental del álgebra.                                                                                     

Bibliografía

  1. Merino, O. (2006). A Short History of Complex Numbers. Enero, University of Rhode Island.
    Sitio web:http://www.math.uri.edu/ merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexN umbers2006.pdf
  2. Smith, D. (1951). History of Mathematics. Nueva York: Dover (p134 - 159).
  3. Nahin, P. J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton University Press.
  4. Tio Oda, Abril 07, 2017. Rafael.. Bombelli, matem´atico italiano, o “pai” dos n´umeros complexos. Recuperado: http://tiooda.com.br/index.php/cientistas/matematicos/5757-rafael-bombellimatematico-italiano-o-pai-dos-numeros-complexos
  5. NNDB, Soylent Communications, (2014). Girolamo Cardano. Recuperado:http://www.nndb.com/people/528/000107207/
  6. Ekokultur, Junio 18, 2014. Omar Jayyam Nishabur´ı - POETA SIGLO XII - Omar Khayy´am. Recuperado:http://ekokultur.blogspot.com.co/2014/06/omar-ibn-ibrahim-jayyam-nishaburipoeta.html
  7. Valentine O. Oduenyi. AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY. Recuperado:http://www.sapaviva.com/augustin-louis-cauchy/
  8. Archive of the BBAW, Mayo 28, 2009. Carl Friedrich Gauß. Recuperado:http://archiv.bbaw. de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/ gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/ZIMM-0001.html
  9. Calinger, Ronald (1996). Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727-1741). Historia Mathematica 23 (2): 154-155.
  10. . El Juego de Filosofar, Agosto 22, 2010. El amanecer moderno, Ren´e Descartes. Recuperado:http://eljuegodefilosofar.blogspot.com.co/2010/08/el-amanecer-moderno-rene-descartes1596.html

 

Felipe Vanegas

Estudiante del programa de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria.

 

 

05/16/2018

Otras voces: Desde el análisis de datos a los problemas de la cadena de suministro

Otras voces_ Desde el análisis de datos a los problemas de la cadena de suministro

 Si se le pregunta a un gerente de producción cómo se resuelven los problemas propios de la manufactura, es probable que la respuesta sea una gran cantidad de información sobre Lean, Six Sigma y otras técnicas de mejora basadas en datos. Si la pregunta está dirigida a un gerente en logística y de la cadena de suministro, es probable que la respuesta sea muy distinta, una que involucra menos análisis de datos y más sobre métodos relacionados con resolver los problemas del día a día.

Una de las razones de esta diferencia es la dificultad de recopilar datos reales en las cadenas de suministro y operaciones logísticas, donde la mayoría de la actividad ocurre fuera del entorno cercano de su operación. Como resultado, las metodologías basadas en datos han tenido menos desarrollo en la cadena de suministro que en otras organizaciones de operaciones. Pero el aumento de las aplicaciones usadas en la cadena de suministro IoT (Internet of Things) facilita la recopilación de datos, por lo que es hora de que los profesionales de la cadena de suministro comiencen a pensar en nuevas herramientas.

Presentando el DMAIC

Una de las metodologías de mejora más populares dentro de las herramientas del  Six Sigma es el DMAIC, que significa Definir, Medir, Analizar, Mejorar y Controlar. Analicemos un ejemplo típico de cómo los datos de la IoT posibilitan la aplicación de un enfoque DMAIC en la cadena de suministro.

Definir

El problema que enfrenta nuestra organización es que vemos una amplia gama de plazos de entrega y tasas de daños para los envíos desde nuestras instalaciones de fabricación a los centros de distribución de nuestros clientes. Esta variación significa que los clientes almacenan demasiado inventario (lo que no satisfactorio) o corren el riesgo de no tener el producto cuando lo necesitan (lo que aún menos satisfactorio). El objetivo es reducir la variabilidad en los tiempos de entrega y las tasas de daños para que nuestros clientes estén más satisfechos.

Medir

Para medir el comportamiento real de los camiones que transportan nuestros productos, es utilizada una solución tecnológica para cadenas de suministro soportada por IoT. Un rastreador conectado por celular, puesto en cada envío, informa en tiempo real sobre la ubicación y el estado del envío, incluidos los datos sobre descargas (que pueden generar deterioro a nuestro producto). Esto nos brinda un amplio conjunto de datos de ubicación y condición para cada envío.

Analizar

Al usar estos datos, realizamos varios tipos de análisis, que incluyen la creación de histogramas de cada envío. Estos histogramas indican la variación en el tiempo y la cantidad de golpes fuertes en un envío en particular. Observamos qué envíos tienen la variación más amplia y profundizamos más en esas rutas para comprender qué incrementa la variación. Vemos que los transportistas utilizan una cantidad sorprendente de rutas diferentes; en un caso, la diferencia entre la ruta más larga y la más corta es de 5X. Peor aún, la ruta larga tiene los peores resultados en términos de condiciones de envío, con más tiempo empleado a altas temperaturas y deterioro más marcado en la mercancía.

Mejorar

Teniendo en cuenta  esta información, se inicia un diálogo con nuestro proveedor de logística sobre las formas de mejorar los procesos. Aunque el diálogo siempre ha existido, si se tiene datos limitados no se presentan mejoras concretas. Ahora, con datos y mapas que muestran exactamente cuándo y dónde están ocurriendo las demoras y los daños, podemos elaborar modificaciones a nuestro acuerdo de servicio que garantice que se eviten las "peores" rutas.

Controlar

Se espera que en el futuro la variación en los datos disminuya. Nuestro sistema de IoT indica un cambio en las rutas que los conductores están tomando, con reducciones en las incidencias y tiempos de entrega. Cuando vemos que un envío toma una de las rutas que acordamos evitar, le enviamos un correo electrónico a nuestro socio de logística y le confirmamos que cometió un error. Seguimos monitoreando los envíos de manera regular para seguir buscando formas de mejorar.

En este ejemplo, usamos un histograma, una herramienta de análisis común, para identificar cuál de nuestros envíos tenía una variación inesperadamente grande en los tiempos de entrega o las tasas de daño. También podríamos usar un gráfico de control para monitorear el proceso en curso, un enfoque que nos permite distinguir entre la variación “común" en el proceso y la variación "asignable", que probablemente sea causada por algún problema subyacente.

Al combinar nuevos datos de IoT con las herramientas de análisis existentes utilizadas por muchas organizaciones de fabricación, los equipos de la cadena de suministro probablemente descubrirán que se están alejando del modo de reacción y hacia un enfoque más proactivo y orientado al análisis. Por supuesto, esta transición puede requerir algo de trabajo. El uso de herramientas como histogramas y gráficos de control requerirá que el equipo se familiarice con una serie de nuevas herramientas y entienda cuándo aplicar cada tipo de herramienta. El resultado, sin embargo, es un equipo que se adapta bien para aprovechar las nuevas aplicaciones de IoT, lo que hace posible crear y administrar un suministro que finalmente ofrece mejores resultados con menos esfuerzo. Yo diría que vale la pena la inversión.

 

Ph.D. Gustavo Campos

Director del Centro de Investigaciones

Facultad de Matemáticas e Ingenierías

 

05/09/2018

Mejores prácticas para autores académicos en la era de las revistas predadoras

Mejores prácticas para autores académicos en la era de las revistas predadoras

Un objetivo de cualquier investigador debe ser compartir sus hallazgos y obtener respeto y retribución por su publicación científica, a la vez que beneficia a la sociedad con nuevo conocimiento. 

Para lograr este objetivo, la revista ideal es aquella que no solo publica un artículo rápidamente, sino que también ayuda al autor a mejorar el artículo antes de su publicación a través de revisión por pares, selecciona solo la mejor investigación para que el artículo del autor se encuentre junto a otros artículos de alta calidad y brinda la máxima visibilidad y acceso al artículo.
 
Desafortunadamente, en el mundo real, los autores deben escoger entre las revistas de alta calidad, las que trabajan rápidamente, las que están dispuestas a aceptar el artículo y las que brindan el mejor acceso. En esta variedad de opciones, ha surgido el denominado “open access“ o acceso abierto, como un medio para aumentar la visibilidad: las revistas publican el artículo sin una barrera de suscripción, para que cualquiera, en cualquier lugar, pueda leer el artículo. Sin embargo, el crecimiento del “open access“ (impulsado por las instituciones, los organismos de subvención y los gobiernos como un medio para mejorar la salud y el conocimiento humano) ha tenido algunas consecuencias imprevistas.
 
Jeffrey Beall[1] analiza un fenómeno reciente que ha surgido del movimiento de acceso abierto: el de los "editores predadores". Se trata de individuos o empresas que utilizan el sistema financiero de acceso abierto (el autor paga, en vez de pagar una suscripción de una biblioteca) para estafar a autores y lectores prometiendo plataformas de publicación con buena reputación, pero sin ofrecerlo en realidad. Con frecuencia tienen paneles editoriales inexistentes, operan sin ninguna revisión por pares o control de calidad, no son claros  con los requisitos de pago y tampoco con respecto a su ubicación geográfica, incluyen contenido plagiado y publican lo que sea, dando solo importancia al pago. Los editores depredadores, en general, hacen falsas promesas a los autores y se comportan de forma poco ética. 
 
Este tipo de publicaciones también debilita el ambiente de publicación científica e información académica con una avalancha de artículos de baja calidad, sin control e invalidados, a menudo publicados en sitios temporales, perdiendo así el registro académico.
 
Jeffrey Beall, un bibliotecario en Denver, EE.UU., ha visto el surgimiento de esa práctica fraudulenta y, para ayudar a combatirlo, administra un sitio de blogs que muestra editores y revistas que ha identificado como predadoras. Aparte de las listas de Beall que proporcionan a bibliotecarios y autores información sobre las revistas y editoriales, varias editoriales legítimas, grupos de bibliotecas y otros han unido fuerzas para educar e informar a los autores sobre qué buscar al seleccionar publicaciones para publicar (o leer). Esta iniciativa, llamada “Think. Check. Submit”.http://thinkchecksubmit.org/ se lanzó en la segunda mitad de 2015 y espera crear conciencia sobre las revistas de mala reputación, al mismo tiempo que las separa claramente de las revistas válidas de alta calidad y acceso abierto (de las cuales hay muchas).
 
Para más información sobre editoriales predadoras revisar las siguientes páginas web:

https://beallslist.weebly.com

https://predatoryjournals.com/journals/

https://beallslist.weebly.com/standalone-journals.html

[1] Beall, J. (2016). Best practices for scholarly authors in the age of predatory journals. The Annals of The Royal College of Surgeons of England, 98(2), 77-79. 

 

Ph.D. Gustavo Campos

Director del Centro de Investigaciones

Facultad de Matemáticas e Ingenierías