Usted está en: Inicio / Programa de Matemáticas / ¿De cuántas maneras se pueden organizar cuatro banderas? El factorial y la función Gamma

Portada

 

¿De cuántas maneras se pueden organizar cuatro banderas?

Imagen

Bien, para el primer lugar tenemos cuatro banderas de dónde escoger, seleccionamos una y la colocamos. Para el segundo lugar tenemos tres opciones, debido a que ya hemos colocado una de las cuatro banderas en el primer lugar. Para el tercer lugar nos quedan dos banderas de dónde escoger y finalmente queda la bandera que queda irá en el cuarto lugar. Por lo tanto el número total de maneras en las que podemos organizar cuatro banderas es 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

¿Y qué pasa si tenemos n banderas? Entonces, repitiendo el mismo procedimiento, podemos encontrar el número de maneras en que se pueden organizar de la siguiente manera: (n) x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1. A esto los matemáticos lo hemos llamado el factorial y lo denotamos por n!, siendo la multiplicación de todos los números enteros desde uno hasta n. Por lo tanto, en el ejemplo anterior podemos ver que 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Pero los matemáticos no nos íbamos a detener ahí, no señor. Nuestra curiosa naturaleza y las ganas de generalizar las cosas, nos llevaron a un nuevo resultado.

A principios de la década de 1720’s Daniel Bernoulli y Christian Goldbach se preguntaron si se podía de alguna manera extender el factorial a números que no fueran enteros positivos.

Imagen1

Al final de la misma década, Leonhard Euler encontró una respuesta a esta pregunta: La función Gamma.

La función Gamma está definida por: 

Imagen2

Integrando por partes la función Gamma evaluada en (x+1), descubrimos una de las propiedades más importantes de esta función: Γ(x+1) = xΓ(x).

Observamos, integrando por partes también, que Γ(1) = 1.

De tal manera que Γ(2) = 1 •  Γ(1) = 1.

Más aún,

Γ(3) = 2 • Γ(2) = 2 • 1 = 2!

Γ(4) = 3 • Γ(3) = 3 •  2 • 1 = 3!

Y así sucesivamente encontramos que,

Γ(x) = (x-1)!

Es decir, que la función Gamma efectivamente es la extensión del factorial, con la ventaja que la podemos aplicar ahora a cualquier número, ¡incluso a un número complejo!

La función Gamma es muy útil a la hora de calcular, y aproximar, n! para n muy grandes, tan grandes incluso para los computadores. En adición, la función Gamma se usa frecuentemente en ingeniería, estadística, astronomía, neurociencia, combinatoria, dinámica de fluidos y más. Especialmente para los modelos estadísticos que utilizan la distribución Gamma, útiles para la modelación desde reclamos de seguros hasta incluso el intervalo de tiempo entre terremotos.

 

Así que recuerda, la próxima vez que le desees a tu amiga quinceañera, “felices 15!”, le estas deseando 1307674368000 años.

———

Viviana Márquez (@vivmarquez)

Estudiante del programa de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria.

Este post participa en la Edición 8.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es matematicascercanas.com.

Publicado por Luisa María Fernández O El día 05/27/2017 Enlace permanente Comentarios (0)

Comentarios