« septiembre 2014 | Inicio | noviembre 2014 »

3 posts from octubre 2014

10/14/2014

Breve recorrido por el desarrollo de las geometrías no euclideanas

¿A qué se le denomina geometría no euclidiana? Básicamente a toda geometría en la cual, no se toma algún postulado establecido por Euclides en su libro Los Elementos. Se entiende como postulado una proposición evidente que no es demostrada pero que se acepta como verdadera.

             De acuerdo con la definición de geometría no euclideana o no euclidea, debe tenerse en cuenta que existen muchos tipos de estas geometrias, que surgen luego de 23 siglos, en los cuales se intentó demostrar el quinto postulado, o postulado de las paralelas, el cual nos dice que: “Si una línea recta que corta a otras dos líneas rectas produce ángulos internos del mismo lado que sean menores que dos rectos, entonces las dos líneas se encontrarán, si se prolongan del mismo lado de la línea recta, en que dos ángulos son menores que dos rectos.” [1], como se ve en la imagen 1. Teniendo en cuenta que los primeros cuatro postulados satisfacen el ideal griego el cual nos dice, que aquello que se postula debe ser “evidente por si mismo”. Sería extraño, y motivo de dudas, que en el quinto postulado este ideal no fuese evidente.

Figura 1. Quinto postulado de Euclides. [2]

Este postulado no causaba problemas por tener algún tipo de incoherencia que pusiera en duda su veracidad, sino más bien por la forma en la cual fue escrito, ya que, no es posible tener la seguridad de la existencia de líneas rectas infinitas en un espacio finito, así como no es posible observar que dos rectas consideradas en toda su extensión se corten, debido a que solo se pueden usar segmentos de recta. Además Euclides lo enunció de tal forma, que contiene hipótesis y conclusión, como si fuera un teorema y no resulta tan evidente como los postulados anteriores.

Este inconveniente provoca en los matemáticos la necesidad de sustituir el quinto postulado por uno semejante, o conseguir demostrarlo basándose en los cuatro axiomas restantes. Uno de dichos intentos por sustituirlo, lo realizó el matemático y geólogo escocés John Playfair, quien dijo en 1795: “si un punto P no pertenece a una recta dada r, entonces existe una y solo una recta que pasa por P que es paralela a r”[3], así como se observa en la figura.

Figura 2. Enunciado de Playfair. [2]

Posteriormente Gerolamo Saccheri [4], matemático italiano, intentó establecer la validez del postulado, a través del método de reducción al absurdo, suponiéndolo como falso, con la esperanza de encontrar una contradicción. Para ello utilizó lo que se conoce como el Cuadrilátero de Saccheri (cuadrilátero con dos ángulos rectos y otros dos que podrían o ser, o bien rectos, menores que un ángulo recto, o mayores que un ángulo recto (figura 3) y formuló tres hipótesis: la hipótesis del ángulo recto (donde los cuatro ángulos son rectos), la hipótesis del ángulo agudo (donde dos ángulos son rectos, y dos menores que un ángulo recto) y la hipótesis del ángulo obtuso (donde dos ángulos son rectos, y dos mayores que un ángulo recto); así al ser cierta la primera de estas hipótesis, la Geometría Euclidiana sería la única geometría verdadera, ya que esta garantiza que los segmentos opuestos son paralelos entre sí. Pero no logró probarlo.

Figura 3. Cuadrilátero de Saccheri. [5]

A estos intentos por demostrar la validez del postulado de las paralelas se unió Legendre [6], quien quiso probar, basado en un postulado equivalente, que la suma de los ángulos internos de un triangulo no puede ser mayor a dos ángulos rectos. Lamentablemente, dicha demostración empleaba algo equivalente a lo que él deseaba probar, siendo verdadero, para el caso en el que es válido el quinto postulado.

Esto podría dar a pensar que los matemáticos no fueron hábiles para comprobar la validez del postulado, pero no es así, ya que dicha demostración no existe, debido a que el postulado de las paralelas es independiente a los demás axiomas de la geometría;desarrollándose así, una geometría en la cual, no se tienen en cuanta el quinto postulado, y se trabaja con las 28 primeras proposiciones del libro primero de Euclides. Esta geometría se conoce con el nombre de geometría neutra o absoluta, en la cual no se habla de la existencia de una única recta paralela a otra, que pasa por un punto dado, si no que deja abierta dos posibilidades; una donde se tome como verdadero el postulado quinto o Geometría Euclideana, la cual se trabaja sobre un plano de curvatura cero, y donde la suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a dos ángulos rectos, y otras, donde se niega, dejando dos posibilidades, que existan al menos dos paralelas o Geometría Hiperbólica, o que no existan líneas paralelas o Geometría Elíptica.

La Geometría Hiperbólica fue realizada al mismo tiempo, pero de forma separada por Nicolai Lobachevski y Janos Bolyai. El primero hizo un desarrollo más analítico de su geometría, la Geometría Imaginaria, en la cual se enfocó en la construcción de un sistema geométrico nuevo basándose en la negación del postulado de las paralelas; mientras que Bolyai se enfocó en las proposiciones, que en el libro de Los Elementos no dependían del quinto postulado (las 28 primeras proposiciones) y las tomó como verdades. Siendo así, el postulado para la geometría imaginaria o postula Lobachevskiano dice: “Por cada punto del plano pasan dos rectas paralelas a una recta dada y un número infinito de rectas divergentes con ella” [7], esto quiere decir, que existen al menos dos rectas paralelas a una recta, que pasan por un punto dado fuera de ella (figura 4). Denomina recta divergente, a aquellas rectas que no se cortan ni son paralelas.

Además se define lo que se llama ángulo de paralelismo: “Sea R una recta y P un punto que no pertenece a ella. Las dos rectas paralelas a R que pasan por P determinan ángulos iguales con la perpendicular que baja desde P a R[7], el cual es una función que depende de la distancia de P a R”, que también se puede observar en la figura 4. Además la suma de los ángulos internos de un triangulo es menor que dos ángulos rectos.

Figura 4. Representación del postulado de la Geometría Hiperbólica, y ángulo de paralelismo.[8]

Posterior a ellos, aparece Berndhard Riemman[9] quien al negar el postulado de las paralelas, tomó como válida la no existencia de paralelas, y propuso que el espacio es ilimitado, más que infinito, ya que esta geometría se puede trabajar, por ejemplo sobre la superficie de una esfera, y esta en ningún momento es infinita, además es evidencia empírica del mundo exterior. En su geometría, la geometría elíptica, las rectas tienen longitud ilimitada y no infinita, y la suma de los ángulos internos de un triangulo es mayor que dos ángulos rectos, así como las rectas tienen la misma longitud finita, y dos triángulos semejantes son necesariamente congruentes, entre otras.

Para finalizar, los descubrimientos realizados especialmente por la física durante el siglo XX muestran que las geometrías no euclidianas, son aplicables para la representación, de forma mucho mas sencilla de estructuras y teorías físicas, como se ve en la teoría de la relatividad de Einstein, y en la cinemática relativista, donde se emplea la Geometría hiperbólica, ya que la gravedad causa una cuadratura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor en lo puntos donde la concentración de masa es aumenta, y se percibe un campo gravitatorio que provoca la atracción de los cuerpos.

Referencias

[1] El primer desastre-. El marchitamiento de la verdad. Página. 91.

[2] M.S.I. José Francisco Villalpando Becerra. Apuntes para la materia de geometría no euclidiana. Universidad de Guadalajara. Centro de ciencias Exactas e Ingenierías. Páginas 28-30

[3] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los precursores. Página. 48.

[4] Morris Kline. El primer desastre. El marchitamiento de la verdad. Página. 93.

[5] http://mtma.blogspot.mx/2009/09/3.html

[6] M.S.I. José Francisco Villalpando Becerra. Apuntes para la materia de geometría no euclidiana. Universidad de Guadalajara. Centro de ciencias Exactas e Ingenierías. Páginas 34-38

[7] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los descubridores. Página. 54.

[8] http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_hiperb%C3%B3lica

[9] José Llombart Palet. Bosquejo histórico de las geometrías no euclidianas: Antecedentes, descubrimiento, difusión, consistencia, modelos, aplicaciones físicas,… Los descubridores. Página. 56.

Escuche Konradio

Escuche Es Tiempo de Matemáticas, los lunes y domingos de 11 a.m. a 12 m. y los miércoles de 9 a 10 p.m. por el sonido on-line de Konradio.co

  • Escuche Konradio vía web en konradio.co
  • En dispositivos móviles busque Konradio en TuneinApp
    En iTunesRadio encuentre a Konradio en la categoría Colleges and Universities

ALEJANDRA TORRES MANOTAS

Ada Lovelace Day

 

Math
Hoy 14 de octubre es el Día de Ada Lovelace, una celebración internacional de los logros de las mujeres en la ciencia, tecnología, ingeniería y matemática (STEM por sus siglas en inglés). Esta iniciativa de The Royal Institute tiene como objetivo inspirar a niñas y mujeres a realizar carreras en estos campos. Es por eso que aquí, en el blog de Es Tiempo de Matemáticas, les vamos a contar brevemente acerca de 5 mujeres que a través de la historia hicieron un gran impacto en el campo de las matemáticas.

5-HIPATIA-caricaturaHipatia de Alejandría
Nació:  ±350 d.C - Alejandría, Egipto.
Falleció: 8 de marzo de 415 - Alejandría, Egipto.

Hipatia fue la primer mujer científica de la historia. 

Hipatia contribuyó a la invención de aparatos como el astrolabio y el aerómetro, defendió el heliocentrismo e hizo estudios sobre el peso específico de los líquidos y sobre geometría euclidiana. Vinculada a la biblioteca de Alejandría, ninguno de sus escritos sobrevivió hasta estos días. Se dice que era hermosa, de gran elocuencia y una profunda sabiduría; sin embargo, nunca se casó y prefirió en su lugar dedicarse al trabajo académico. Se la describía como una maestra de mucho carisma, que hacía un gran énfasis en las ciencias. Tristemente, Hipatia fue asesinada por un grupo de cristianos a quienes su erudición, modo de transmitir el conocimiento y profundidad en el pensamiento científicoles hacía sentirse amenazados.

 

13-CHATELET-caricaturaÉmilie du Châtelet
Nació: 17 de diciembre de 1706 - París, Francia.
Falleció: 10 de septiembre de 1749 - Lunéville, Francia.

Émilie du Châtelet lo consiguió todo. Estudió, fue madre, cuidó su bello aspecto y recibió el reconocimiento de grandes científicos de su época. Lo que hoy llamaríamos una mujer de éxito, eso fue esta marquesa del siglo XVIII que se coló entre los principales nombres de la Revolución Científica. 

Autora de las "Institutions de Physique" y traductora de los "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" de Newton.

 

16-GERMAIN-caricaturaSophie Germain
Nació: 1 de abril de 1776 - París, Francia.
Falleció:  27 de junio de 1831 - París, Francia.

Desde muy joven sintió fascinación por los trabajos matemáticos que encontró en la ella. Germain tomó la decisión firme de convertirse en matemática, pero no fue fácil, su caso ilustra nítidamente la idea de que en los no lejanos siglos XVIII y XIX la matemática seguía siendo un lugar inhóspito para una mujer. 

Tomando por vez primera, aunque no última, el nombre de Le Blanc, Germain escribió un artículo sobre análisis y se lo envió al mismísimo Lagrange. Asombrado éste de la originalidad y exactitud del trabajo, quiso conocer a su autor descubriendo que monsieur Le Blanc era realmente madame Sophie Germain. Desde entonces se convirtió en su tutor matemático.

Sophie Germain recibió, por primera vez en la historia para una mujer, un doctorado honorario en la universidad de Göttingen pero su temprana muerte impidió que se confirmara este honor.

 

22-KOVALEVSKAYA-caricaturaSofia Kovalévskaya
Nació: 15 de enero de 1850 - Moscú, Rusia.
Falleció: 10 de febrero de 1891 - Estocolmo, Suecia.

La fascinante personalidad de Sofía Kovalevski, delineada por su afición a la literatura y las matemáticas, muestra que así como no hay oposición entre el poeta y el matemático, tampoco la hay entre la matemática y la mujer. Ha sido considerada por algunos historiadores como la mejor matemática anterior al siglo XX. Su interés por las matemáticas se despertó de forma curiosa: dado que faltaba tapiz para todos los cuartos de la amplia casa de campo que su familia tenía en Bielorrusia, una de las habitaciones de los niños fue cubierta con hojas de las conferencias litografiadas de Ostrogradski sobre cálculo diferencial e integral. Sonya se pasó horas tratando de descifrar las fórmulas y el texto.

Sofia era altamente activa en relación con los derechos que las mujeres tenían de estudiar, por eso organizó un encuentro con el famoso matemático Karl Weierstrass para pedirle una tutoría privada. El matemático quiso quitársela de encima dándole una serie de problemas tan difíciles de resolver que esperaba no verla nunca más. Pero no lo consiguió. Una semana después, Sonia estaba de vuelta blandiendo sus soluciones. Se ganó el respeto del maestro que encontraba en ella “el regalo del genio intuitivo hasta un grado raramente encontrado ni entre los más antiguos e instruidos estudiantes”.

 

Y por supuesto, no podemos acabar esta entrada del blog sin mencionar a la homenajeada, Ada Lovelace.

 

768px-Ada_Lovelace_Chalon_portrait

Ada Lovelace
Nació: 10 de diciembre de 1815 - Londres, Reino Unido.
Falleció: 27 de noviembre de 1852, Marylebone, Reino.

Es una de las mujeres más importantes en la historia de las matemáticas y una de las precursoras de la ciencia informática.Se le reconoce como la primera persona en describir un lenguaje de programación de carácter general interpretando las ideas de Babbage. Ada Lovelace es la madre de la programación informática. Esta joven genio también describió conceptos como el bucle y la subrutina y escribió un plan detallado para calcular los valores de los números de Bernoulli.

 

Los invitamos a conocer más acerca de estas maravillosas mujeres a través de los links de referencia de abajo. Para continuar conociendo grandes matemáticas y matemáticos semanalmente, pueden escuchar el programa radial "Es tiempo de matemáticas" los lunes a las 11 a.m., con repetición los miércoles a las 9 p.m. y los domingos a las 11 a.m., porque siempre es tiempo de matemáticas.

-----

Viviana Márquez en Twitter 

Follow @vivmarquez

-----

Escuche Konradio

Escuche Es Tiempo de Matemáticas, los lunes y domingos de 11 a.m. a 12 m. y los miércoles de 9 a 10 p.m. por el sonido on-line de Konradio.co

  • Escuche Konradio vía web en konradio.co
  • En dispositivos móviles busque Konradio en Tunein App
  • En iTunes Radio encuentre a Konradio en la categoría Colleges and Universities

-----

Ada Lovelace Day:

http://findingada.com/

Referencias:

http://www.muyinteresante.es/historia/articulo/hipatia-de-alejandria
http://curiosidades.batanga.com/3933/hipatia-de-alejandria-primera-mujer-cientifica-de-la-historia
http://www.mujeresenlahistoria.com/2011/12/los-dedos-manchados-de-tinta-emilie-du.html
http://biblioteca.ucm.es/blogs/Foliocomplutense/3226.php#.VD0-O-urTXg
http://www.rebelion.org/noticia.php?id=48721
http://www.uv.mx/cienciahombre/revistae/vol23num3/articulos/kovalevskaya/index.html
http://loquemuchosnosaben.wordpress.com/2013/07/14/ada-lovelace-la-primera-programadora/
http://curiosidades.batanga.com/4500/quien-fue-ada-lovelace
http://feminismo.about.com/od/poder/p/ada-lovelace.htm

Imagenes:

DivulgaMat - http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11596%3Aenero-2008-el-rostro-humano-de-las-matematicas&catid=62%3Aexposiciones-con-historia&directory=67&showall=1

Wikipedia - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Ada_Lovelace_Chalon_portrait.jpg/768px-Ada_Lovelace_Chalon_portrait.jpg

10/02/2014

Matemática e Redes Complexas - 3˚ Diálogo Brasil-Alemanha de Ciência, Pesquisa e Inovação

3º Diálogo Brasil-Alemanha de Ciência, Pesquisa e Inovação 01
Las matemáticas marcaron la tercera edición del Diálogo Brasil-Alemania de Ciencia, Investigación e Innovación que se realizó en la Biblioteca Mário de Andrade en la ciudad de São Paulo, Brasil. El tema del encuentro de este año fue “Matemáticas y Redes Complejas”.  

El evento organizado por el Centro Alemán de Ciencia e Innovación São Paulo (DWIH-SP) tiene como objetivo ofrecer a la comunidad académica, científica y de innovación de Brasil-Alemania una oportunidad especial para generar un espacio de diálogo institucional y científico para promover contactos y discusiones tanto como entre instituciones como entre profesionales de la enseñanza, la investigación y la innovación.

En la noche del 30 de septiembre se dio inicio al encuentro con una “Leibniz Lecture” del matemático Günter M. Ziegler de la Freie Universität Berlin, quien ha recibido el Premio Leibniz y el Premio Comunicador de la Sociedad Alemana de Amparo a la Investigación. 

A las 9:30 del siguiente día se dio apertura al evento contando con la presencia, entre otros, de Friedrich Däuble, Cónsul General de Alemania en São Paulo.

3º Diálogo Brasil-Alemanha de Ciência, Pesquisa e Inovação 02

En la jornada de la mañana se realizó el panel “Fenómenos Dinámicos en Redes Complejas”, moderado por Carlos Eduardo Pereira (Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS), con las siguientes ponencias:

• ¿Son los conceptos modernos de la ciencia de sistemas complejos útiles para ciencias de la tierra?
Ponente: Jürgen Kurths (Alemania - Humboldt-Universität zu Berlin / Postdam Institute dor Climate Impact Research PIK)

• Controlando el comportamiento colectivo.
Ponente: Elbert Macau (Brasil - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciáis INPE)

• Circulación regional y los eventos extremos de precipitación en la región metropolitana de São Paulo.
Ponente: José António Marengo (Perú - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciáis INPE/Centro Nacional de Monitoramento e Alertas de Desastres Naturais CEMADEN)

• Reciclaje de humedad en América del Sur como una red compleja.
Ponente: Delphine Zemp (Francia - Postdam Institute dor Climate Impact Research  PIK)

• Un enfoque de redes complejas para describir cultivos neuronales vivos.
Ponente Christian Schmeltzer (Alemania - Humboldt-Universität zu Berlin)

La jornada de la mañana incluyó un Coffee Break. Los ponentes hablaron en portugués o inglés. Se resaltó que las redes complejas pueden describir varios fenómenos, tales como el transito, la corteza cerebral, el sistema del planeta Tierra, las redes climáticas, entre otros.  

Después de la última ponencia que hacia referencia a las redes neuronales y de un debate con el público, pasamos del cerebro al estómago. El almuerzo, una invitación del Centro Alemán de Ciencia e Innovación São Paulo, fue el espacio perfecto para entablar conversación tanto como con los otros asistentes del evento, como con los mismos ponentes.

Almoço na Biblioteca Mário de Andrade, convite do DWIH-SP

En la jornada de la tarde se realizó el panel “Ecuaciones para una Matemática Atrayente”, moderado por Günter M. Ziegler (Freie Universität Berlin), con las siguientes ponencias: 

 • ¿Cómo la física puede estimular la comprensión de la matemática? Estrategias didácticas inspiradas en una rica interacción histórica.
Ponente: Ricardo Karam (Universität Hamburg)

• Estimulando el interés de los alumnos por la matemática - abordajes del enseñanza y sus fundaciones empíricas.
Ponente: Susanne Prediger (TU Dortmund)

• PROFMAT - Una iniciativa nacional en pro de la formación del profesor de matemática.
Ponente: Marcelo Viana da Silva (Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA / Sociedade Brasileira Matemática SBM)

• Estudiantes como “investigadores de matemáticas” - aprendiendo en las clases de matemática basado en la indagación.
Ponente: Brigitte Lutz-Westohal (Freie Universität Berlin)

• La Olimpiada Brasileña de Matemática de Escuelas Públicas, un proyecto educacional.
Ponente: Claudio Ladim (Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA)

La jornada de la tarde también incluyó un Coffee Break. Los ponentes hablaron en portugués o alemán. Para las personas que no hablábamos alguno de los idiomas, en mi caso el alemán, nos facilitaron este aparato con traducción simultánea para poder entender las conferencias. 

Traductor Simultaneo

En la jornada de la tarde se resaltaron varios temas importantes relacionados con la enseñanza de la matemática. 

La ponente Susanne Prediger menciono que la enseñanza de las matemáticas es un tema que interesa mucho a Alemania, ya que Alemania es un país de producción y necesita de personas bien formadas en matemáticas.

Por otra parte, el ponente Marcelo Viana da Silva expuso la dicotomía que existe en el Brasil con respecto a las matemáticas. Por una parte, la investigación de alto nivel tiene mucho éxito, siendo Brasil el responsable por el 1,6% de la contribución mundial en el área de las matemáticas. Pero por otro lado, las matemáticas en la educación básica están fallando, hecho reflejado en los últimos lugares obtenidos en pruebas internacionales como la prueba PISA. 

Todos los ponentes del segundo panel resaltaron en general la importancia de la investigación en la área de la enseñanza de la matemática. El objetivo es cambiar la reacción de espanto que las personas tienen cuando se les menciona la matemática. No es un problema sólo de Alemania o Brasil, es un problema mundial. Por eso el propósito es encender esa llama del gusto por la matemática, mostrar una imagen completa y diversa de la matemática y motivar una visión matemática de mundo. 

El tercer Diálogo Brasil-Alemania de Ciencia, Investigación e Innovación finalizó con un debate con el público y con una síntesis del evento. 

A través del evento se vio el interesante contraste de las semejanzas y las diferencias que existen en la enseñanza de las matemáticas entre Alemania y Brasil. Se llegó a la conclusión de que hay más impacto de la ciencia que se está haciendo cuando hay cooperación internacional. Este tipo de encuentros tiene el objetivo de realizar diálogos científicos, entre otros, para promover la financiación para la investigación.

Palestrantes - 3º Diálogo Brasil-Alemanha de Ciência, Pesquisa e Inovação

3º Diálogo Brasil-Alemanha de Ciência, Pesquisa e Inovação - Viviana Márquez (USP - Konrad Lorenz)

Biblioteca Mário de Andrade - La biblioteca más grande en São Paulo

---

Resumenes de las ponencias:
http://www.dwih.com.br/fileadmin/user_upload/Events/2014/Abstracts_PDF_ok.pdf

Centro Alemão de Ciência e Inovação - São Paulo:
http://www.dwih.com.br/index.php?id=1&L=1

---

Escuche Konradio

Escuche Es Tiempo de Matemáticas, los lunes y domingos de 11 a.m. a 12 m. y los miércoles de 9 a 10 p.m. por el sonido on-line de Konradio.co

  • Escuche Konradio vía web en konradio.co
  • En dispositivos móviles busque Konradio en TuneinApp
    En iTunesRadio encuentre a Konradio en la categoría Colleges and Universities

 ---

Viviana Márquez en Twitter 

Follow @vivmarquez