Usted está en: Inicio / Programa de Matemáticas / Pisando los talones a la esquiva conjetura de Goldbach

Por: Dayron Achury

Estudiante del Programa de Matemáticas

 

Es difícil anticipar, y más aun comprender la enorme complejidad contenida en la demostración de la conjetura de Goldbach cuando se escucha por vez primera y no se reflexiona pausadamente acerca de ella; es difícil suponerlo por lo sencillo de su formulación.

Primes

En una carta de Christian Goldbach quien se dedicaba a la carrera diplomática en Moscú -y quien no gozaba de una sólida reputación como matemático- dirigida a Euler residente en San Petersburgo, afirma haber notado que todo entero positivo puede escribirse como suma de, cuanto más, tres números primos. Euler respondió que aparentemente sí, pero afirmó desconocer el por qué.

Luego de que el número 1 dejase de ser primo en el siglo XIX se hizo necesario reformular la conjetura a su forma actual: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos, como consecuencia Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.

La primera parte del enunciado se conoce como la hipótesis fuerte, la conjetura binaria ó la conjetura fuerte (de Goldbach) y la segunda parte como la conjetura terciaria o conjetura débil; esta nomenclatura obedece a que la conjetura fuerte implica la débil; es fácil demostrar que al restar de un número impar el número 3 –que es primo -, se obtiene un número par; si la conjetura fuerte estuviese demostrada este número par resultante podría ser representado como la suma de dos primos, entonces el número impar inicial podría ser representado como la suma de tres primos.

Por bastante tiempo la conjetura se mantuvo como una rareza matemática, pero poco a poco fue captando el interés no sólo de los investigadores en la teoría de números, sino también fue ganando una importancia mayúscula en las matemáticas en general, tal como el muy reconocido matemático H. Hardy lo expusiera en el congreso internacional de matemáticas de Copenhague en el año de 1921.

El mismo Hardy en conjunto con el también matemático británico J. Littlewood fueron quienes presentaron el primer avance significativo frente al problema de la demostración de la conjetura de Goldbach (antes de esto ya se había realizado la prueba número a número hasta 2 x 106); en 1923 expusieron una demostración en que todo número impar mayor a un número C (extremadamente grande) puede representarse como la suma de 3 primos si la hipótesis generalizada de Riemann (HGR) era cierta. Este importante aporte no habría salvado la dificultad de la prueba, sólo la había trasladado a una diferente, la comprobación de la HGR, la cual aún no se ha logrado.

Es posible que el aporte más significativo -en mi concepto lo es- lo realizara el célebre matemático soviético I. Vinogradov en 1937. Vinogradov llegó al mismo resultado que Hardy y Littlewood, pero no necesitó de la HGR ni de ninguna otra conjetura para lograrlo, es decir que esta es una prueba propiamente dicha, sólo que restringida a los mayores o iguales a C. Este es un aporte sumamente importante ya que permitía la posibilidad real de llegar a una prueba no restringida ya que se había logrado probar el “conjunto más extenso”, el intervalo desde C a infinito.

El problema de qué tan grande era el número C fue enfrentado por un matemático colaborador y alumno de Vinogradov: Borozdkin, quien en 1956 y a partir de una formulación más explícita de la demostración de su maestro calculó el valor de C = ; un número extremadamente grande.

El tamaño de C siguió siendo materia de investigación. En 1989 los matemáticos chinos Wang y Cheng lograron disminuir la cota superior del valor de C a 3.33 x 1043000, ciertamente una cifra muy inferior a la lograda por Borozdkin pero aún muy distante. Luego para el año 2002 los matemáticos Liu y Wang (es otro Wang, el apellido es muy común en Asia) llegaron a mejorar la cota superior a 2 x 101346. A pesar de la significativa mejora esta última cifra es imposible de probar con nuestra tecnología actual, en palabras del recientemente célebre matemático Harald Herfgott “…incluso el valor C = 10100 es demasiado: como 10100 es mayor que el producto del número estimado de partículas subatómicas del universo por el número de segundos desde el Big Bang hasta hoy, no había esperanza de comprobar cada caso hasta 10100 con computadoras…”[1].

Para el año 2012 la conjetura fuerte de Goldbach pudo comprobarse computacionalmente para todos los números menores o iguales a 4 x 1018 gracias a un trabajo realizado por un grupo de matemáticos (Oliveria y Silva, Herzog y Pardy). A partir de este trabajo Herfgott[2] y Platt emplearon una técnica denominada la escalera de primos para probar la conjetura débil de Goldbach para los números menores o iguales a 8,8 x 1030 con el uso de métodos computacionales. La escalera de primos establece unos “escalones” que son números primos espaciados por menos de 4 x 1018 (en este caso); con la adición de primos “medianos y pequeños” al valor más alto probado y conocido les fue posible llegar a demostrar la validez de la conjetura débil hasta el número 8.8 x 1030.

Por la misma corriente establecida por Vinogradov ocurrieron otros importantes acercamientos que no estuvieron sujetos al valor de C como cota superior.

Schnirelman en 1930 logró demostrar que todo n > 1 puede representarse como la suma de k primos.

Ramaré en 1995 demostró que todo número par > 2 podría representarse como, a lo más, la suma de seis primos.

Tao en 2012 demostró que todo número impar > 1 puede representarse como la suma de cuanto mucho 5 primos.

Por último, empleando un método que el mismo autor denominó el método del circulo, en el que se usa el análisis de Fourier en los enteros y se busca disminuir el valor de C, Harald Herfgott[3] estableció el valor de C en 1029, por debajo de las comprobaciones realizadas por él mismo y por Platt que establecían la cota superior de números probados en 8.8 x 1030, de esta manera queda demostrada la veracidad de la conjetura débil de Goldbach.

Demoledor

Queda una extraña sensación ya que pareciera que la hipótesis no fue vencida del todo; aunque demostrada, no hay aún una prueba totalmente analítica, parece haber sido develada no con la elegancia, belleza y sutileza de un certero golpe de esgrima (como la mayoría de las demostraciones) sino con demoledores golpes de martillo en muchos flancos.

Queda pendiente entonces para los matemáticos el reto de una demostración totalmente analítica de la conjetura débil y más importante aún, el reto de la demostración de la conjetura fuerte, la cual todavía galopa indómita en el extenso campo de aquello que desconocemos.



[1] Discurso de apertura de las Olimpiadas Nacionales Matemáticas, Lima 2013.

[2] Matemático peruano de quien proviene la cita anterior

[3] IBID

Publicado por Luisa María Fernández O El día 08/11/2014 Enlace permanente Comentarios (1)

Comentarios